Φίλοι του Τ.Μ.Θ.

  • Μεγαλύτερο μέγεθος γραμματοσειράς
  • Προκαθορισμένο μέγεθος γραμματοσειράς
  • Μικρότερο μέγεθος γραμματοσειράς

Οι αριθμοί της ομορφιάς

E-mail Εκτύπωση PDF
 Οι μαθηματικές σχέσεις που περιγράφουν το ωραίο στην φύση και στην τέχνη
υπακούουν στους νόμους της μουσικής.

 Θανάση Δρίτσα, στην μνήμη του καθηγητή Παντελή Ξαγοράρη

Το πρόβλημα του ωραίου και της ομορφιάς απασχόλησε και απασχολεί ψυχολόγους, παιδαγωγούς, κοινωνιολόγους και κάθε άνθρωπο που μπορεί να αντιληφτεί πόσο ουσιαστικό φαινόμενο αποτελεί η δίψα για ομορφιά η οποία και γεννά την τέχνη δηλ. τη ζωγραφική, τη γλυπτική, την αρχιτεκτονική , την ποίηση, τη λογοτεχνία και τη μουσική. Υπάρχουν βέβαια δύο στάσεις απέναντι στην ομορφιά. Η πρώτη περιλαμβάνει αυτούς που αισθάνονται δηλ. βλέπουν, ακούν, αγγίζουν, αλλά δεν απορούν ούτε ψάχνουν πέραν της απλής αίσθησης.

Η δεύτερη στάση περιλαμβάνει όχι μόνον αυτούς που αισθάνονται αλλά επίσης ψάχνουν και το γιατί, αναζητούν τις κοινωνικές και ψυχολογικές σημασίες των αισθητών. Οι άνθρωποι που υιοθετούν την πρώτη στάση δεν μπορούν συνήθως να ξεχωρίσουν το γεωμετρικό κάλλος ενός αμφορέα από την ιδιότητα του να μεταφέρει νερό, δεν μπορούν να δουν το κάλλος στη γραμμή και τα χρώματα ενός ψαριού, αλλά βλέπουν την κατάληξη του στο τηγάνι ! Πρέπει πριν αρχίσει κάποιος να αναζητά το τι είναι ωραίο να ξεκαθαρίσει μέσα του ότι η αναζήτηση της ομορφιάς- κυρίως μέσω της τέχνης -είναι διαδικασία ανιδιοτελής, δηλ. χωρίς πρακτική ωφέλεια. Η εξέλιξη της τέχνης από τις πρωτόγονες κοινωνίες προς την περίοδο των ιστορικά σημαντικών πολιτισμών είναι μια προοδευτική πορεία από την εξηρτημένη τέχνη στην τέχνη που οδηγεί στη κατάκτηση μιας ομορφιάς μη εξηρτημένης από βιοτικούς η άλλους πρακτικούς παράγοντες αλλά αυθύπαρκτης και αυτόνομης.

Στά πλαίσια της αναζήτησης των νόμων της ομορφιάς-εφόσον αποδεχθεί ο λογικός νους ότι υπάρχουν αυτοί-δεν θα μπορούσαμε να αγνοήσουμε τη συνεισφορά των Πυθαγορείων και του Πλάτωνα στη διαμόρφωση μιας θεωρίας για την ομορφιά που επέδρασε αποφασιστικά στην εξέλιξη της σκέψης από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Οι Πυθαγόρειοι ήσαν οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με την μαθηματικοποίηση των νόμων της αρμονίας και συσχέτισαν τούς αριθμούς και τίς αναλογίες αριθμών με τούς νόμους της μουσικής. Οι Πυθαγόρειοι με την διαίρεση του μονοχόρδου σε απλούς αριθμητικούς λόγους 1:2, 2:3 και 3:4 έφεραν στο φώς τα μουσικά διαστήματα της ογδόης ( διαπασών κατά την πυθαγόρεια ορολογία), της πέμπτης (διαπέντε κατά την πυθαγόρεια ορολογία) και της τετάρτης αντίστοιχα (διατεσσάρων σύμφωνα με την πυθαγόρεια ορολογία) τα οποία αποτελούν και την βάση κατασκευής όλων των μουσικών συστημάτων μέχρι και τις μέρες μας. Ο Πλάτων στα έργα του μιλά για την ύπαρξη μιας ομορφιάς ουσιαστικής, της μορφής του ωραίου που συλλαμβάνεται από το νου και υπερβαίνει τη μεταβλητή ομορφιά των συγκεκριμένων αντικειμένων.

Σύμφωνα με τον Πλάτωνα υπάρχει μία ιδανική μορφή του ωραίου σε ένα ιδεατό κόσμο, ξεχωριστό από τον εμπειρικό κόσμο η οποία έχει τον ίδιο τρόπο ύπαρξης όπως οι μαθηματικές οντότητες των αριθμών και της τέλειας ισότητας. Ο Πλάτων αποδέχεται την ύπαρξη της ομορφιάς σε απλά πράγματα, όπως στους τόνους των φθόγγων, που είναι λείοι και λαμπροί και που αναδίδουν μία καθαρή μελωδία και είναι ωραίοι όχι σχετικά με κάτι άλλο αλλά καθ' εαυτούς (Φίληβος 51β) η όπως και τα απλά γεωμετρικά σχήματα, η ευθεία και η καμπύλη, τα επίπεδα και τα στερεά που παράγονται από αυτές και γίνονται με τόρνο, διαβήτη και κανόνα τα οποία είναι και αυτά ωραία καθ? εαυτά (Φίληβος 51γ).

 

Με βάση την πλατωνική θεωρία τα στοιχεία της ομορφιάς, τα οποία είναι κοινά στο χρώμα, στα απλά γεωμετρικά σχήματα, στο σχήμα του κανονικού πολυέδρου και του σώματος είναι η ενότητα, η συμμετρία, η απλότητα. Οι ρίζες όλων των αντιλήψεων για την ομορφιά των καθαρών γεωμετρικών σχημάτων βρίσκονται στον Πλάτωνα. Στο διάλογο του περί ηδονής (Φίληβο) γράφει ότι ουσιαστικά το κάλλος των σχημάτων δεν βρίσκεται στις ζωγραφιές που μας παρουσιάζουν οι περισσότεροι καλλιτέχνες. Το πνευματικό κάλλος υπάρχει μόνο στα γεωμετρικά σχήματα που κατασκευάζονται από τον κανόνα και τον διαβήτη.

Η ελληνική τέχνη του Ε΄ αιώνα, η αρχαία αιγυπτιακή τέχνη, η βυζαντινή, καθώς και η τέχνη της Αναγέννησης έδωσαν, άλλη λιγότερη και άλλη περισσότερη, σημασία στον παράγοντα αισθητή φύση, χωρίς να παραιτηθούν από τις γεωμετρικές ενασχολήσεις. Όταν αργότερα το πνεύμα της Αναγέννησης νεκρώθηκε, οι μιμητές της κατάντησαν να κατασκευάζουν άψυχα σχήματα και η εντύπωση του οπτικού φαινομένου εξουδετέρωσε τον πλαστικό διαλογισμό.

Αλλά ο τρόπος με τον οποίο γεννήθηκαν οι μαθηματικοί νόμοι της ομορφιάς στο νου των Πυθαγορείων και του Πλάτωνα φαίνεται ότι πηγάζει από αβίαστη, αμερόληπτη και ουσιαστική παρατήρηση της φύσης. Μία σύγχρονη και σημαντική εργασία έγινε από τον αρχιτέκτονα Gyorgi Doczi ο οποίος στο βιβλίο του The Power of Limits, Proportional Harmonies in Nature, Art & Architect κατέγραψε μια τεράστια μελέτη που περιλαμβάνει την μαθηματική ανάλυση της κατασκευής του σώματος φυτών, ζώων αλλά και πλείστων αρχιτεκτονικών κατασκευών από τα αρχαία ελληνικά και αιγυπτιακά αγάλματα μέχρι έργα τέχνης του 20ου αιώνα. Μέσα από το έργο του Doczi φαίνεται ότι οι ανθρώπινες σωματομετρικές αναλογίες, η κατασκευή της πεταλούδας και του σώματος των ψαριών, η αρχιτεκτονική του κοχλία, του αλλόσαυρου και γενικότερα οι αναλογίες που διέπουν τις φυσικές δομές υπακούουν στίς Πυθαγόρειες αναλογίες (διαπασών, διατεσσάρων και διαπέντε) (1:2, 3:4. 2:3) και στην περίφημη ακολουθία (0,1,1,2,3,5,8,13,21...) του Fibonacci η Λεονάρδου της Πίζας (1175-1250) που θεωρήθηκε σαν ο μεγαλύτερος Δυτικός μαθηματικός του μεσαίωνα. Όσο μεγαλώνει η ακολουθία αυτή τόσο ο λόγος δύο συνεχών αριθμών της ακολουθίας προσεγγίζει τον χρυσό αριθμό-χρυσή τομή 0.618 η 1.618 (που εκφράζεται σαν ?5+1/2). Οι αριθμοί που σχηματίζουν την ακολουθία αυτή σχηματίζουν ως αρμονικές αναλογίες και μουσικές αρμονικές συνηχήσεις (πχ συγχορδία ντο-μι-σολ-ντο). Οι Πυθαγόρειοι λόγοι 2:3=0.666, 3:5=0.6, 5:8=0.625, 8:13=0.615 πλησιάζουν τον χρυσό αριθμό 0.618.

Πάρα πολλοί καλλιτέχνες που ανήκουν στα πρωτοποριακά ρεύματα του 20ου αιώνα (Cezanne, Kandinsky, Klee, Mondrian, κυβιστές) επανέφεραν την εικαστική τέχνη στο σωστό δρόμο των αναζητήσεων των πυθαγορείων και πλατωνικών αξιών δηλ. των πλαστικών αξιών και προσπάθησαν να υποτάξουν τα φαινόμενα σε μαθηματικές αναλογίες και στις σχέσεις των γεωμετρικών σχημάτων δίνοντας έτσι στο ζωγραφικό έργο νομοτέλεια. O Cezanne είχε πει κάποτε ότι κάθε τι στη φύση διαμορφώνεται σύμφωνα με τα γεωμετρικά σχήματα της σφαίρας , του κώνου και του κυλίνδρου. Οι περίφημες Απολλώνιες τομές παίζουν ένα κυριότατο ρόλο στις κατασκευές σύγχρονων έργων των κονστρουκτιβιστών και στα έργα ορισμένων αφηρημένων μεγάλων σύγχρονων δημιουργών όπως πχ στα έργα του Γ. Ξενάκη που χρησιμοποιούν ιδιαίτερα τα ανώτερα μαθηματικά και εμπνέονται από ειδικές επιφάνειες τα υπερβολικά παραβολοειδή, τα ελλειπτικά παραβολοειδή και τις αναπτυκτές επιφάνειες (βλ. Παντελή Ξαγοράρη, Δομές και Μεσότητες στην Τέχνη, Εκδόσεις Παρατηρητής, Θεσσαλονίκη 1996).

Μία πολύ πρόσφατη μελέτη που δημοσιεύθηκε στο επιστημονικό περιοδικό βασικής έρευνας Nature τον Μάρτιο του 2000 απέδειξε ότι οι συνηχήσεις που προκύπτουν από τούς απλούς αυτούς Πυθαγόρειους λόγους (2:3. 3:4, 1:2 ) έχουν και βιολογική σημασία. Κατά κάποιο τρόπο φαίνεται ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι κουρδισμένος όπως και ένα μουσικό όργανο ώστε να συντονίζεται με αυτές τις απλές αρμονικές συνηχήσεις. Η μελέτη αυτή έδειξε ότι όταν ακούμε σύμφωνα μουσικά διαστήματα δηλ. που προέρχονται από τούς απλούς αρμονικούς λόγους 2:3, 3:4 και 1:2 το ηλεκτρικό σήμα της λειτουργίας του εγκεφάλου (ηλεκτροεγκεφαλογράφημα-ΗΕΓ) που προέρχεται από διαφορετικές εγκεφαλικές περιοχές είναι απόλυτα συμμετρικό ενώ όταν ακούμε διάφωνα διαστήματα δηλ. μη απλών ακεραίων αρμονικών λόγων το ΗΕΓ κατά διαφορετική εγκεφαλική περιοχή εμφανίζει μεγάλη ασυμμετρία.

Εδώ θα πρέπει να συνδέσουμε τα ευρήματα αυτά της σύγχρονης έρευνας με το μεγαλείο της θεωρητικής σκέψης και της απροκατάληπτης παρατήρησης των Πυθαγορείων, του Πλάτωνα αλλά και πολλών άλλων αναστημάτων της καθαρής μαθηματικής σκέψης της αρχαιότητας όπως πχ του Απολλώνιου, του Αρχιμήδη, του Ευκλείδη, του Διόφαντου κλπ. Η φύση όταν την παρατηρεί κάποιος χωρίς προλήψεις και με καθαρό μυαλό διδάσκει απόλυτα. Στο σημείο αυτό ταιριάζουν απόλυτα τα λόγια του Paul Valery που σε έναν διάλογο του (βλ. Ευπαλίνος η ο Αρχιτέκτων, Εκδ. Αγρα, Πρόλογος Αγγ. Σικελιανού, μτφρ Ελλης Λαμπρίδη) παρουσιάζει έναν Φοίνικα ναυπηγό, έναν άνθρωπο με τερατώδη και πρωτόγονη φύση, χωρίς προλήψεις, που η καθαρή του σκέψη πλησιάζει την βαθειά και ανεξερεύνητη ουσία των πραγμάτων αποκαλύπτοντας τις ενδότερες σχέσεις και δομές τους.

....Δεν έπαυε να εμβαθύνει τα ανεξερεύνητα μέρη της τέχνης του, σπάζοντας τ' απολιθωμένα συμπλέγματα των ιδεών και ξαναπιάνοντας τα πράγματα από την πηγή τους. Διαλογιζόταν με πάθος τη φύση των ανέμων και των υδάτων, την κινητικότητα και την αντίσταση των ρευστών. Στοχαζόταν πως γεννιούνται οι τρικυμίες και οι απανεμιές, πως κυκλοφορούνε τα χλιαρά ρεύματα και πως εκείνοι οι αμάλαγοι ποταμοί που κυλούνε, μυστηριωδώς καθαροί, ανάμεσα σε σκοτεινά τείχη αλμυρό νερό. Αναλογιζόταν τις ιδιοτροπίες και τα μετανιώματα που έχουν οι αύρες, τις αβεβαιότητες των βυθών και των διαύλων. Πίστευε πως ένα καράβι πρέπει, κατά κάποιο τρόπο, να δημιουργείται από τη γνώση της θάλασσας και σχεδόν να πλάθεται από το κύμα το ίδιο. Χάραζε παράδοξα σχήματα που καθιστούσαν γι΄ αυτόν, ορατές τις μυστικές ιδιότητες του πλοίου του, αλλά δεν μπορούσε να αναγνωρίσει κανείς σ΄ αυτά τίποτε που να θυμίζει καράβι.


Σημ. Το κείμενο αυτό δημοσιεύθηκε στο φύλλο της 3 Αυγούστου 2001 της εφημερίδας Καθημερινή.

http://www.mathsforyou.gr/index.php/paron/49-i-pythagoreios-tetraktys-4

Πέμπτη, 12 Ιουλίου 2012

Τελευταία Ενημέρωση στις Παρασκευή, 13 Ιούλιος 2012 03:43  

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ

ΜΕΓΑΛΕΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΕΙΣ

1984

Η ανάλυση του DNA εφαρμόζεται για τη διερεύνηση της εξέλιξης του ανθρώπου.

Μαθητικο Συνεδριο Πληροφορικης

ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΕΡΤ Συνεδρίο

This page require Adobe Flash 9.0 (or higher) plug in.

SPOT Τεχνικού Μουσείου

This page require Adobe Flash 9.0 (or higher) plug in.